Rotationsintegrale

Rotationsintegral(Volumen von Rotationskörpern)

Das Volumen des Körpers bei der Rotation der Flächen zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a;b].

$V(x)=\pi*\int_a^b(f(x))^2dx$

Das Volumen des Körpers bei der Rotation der Flächen zwischen dem Graphen von f und der y-Achse im Intervall[a;b]. Dabei sei f umkehrbar mit $x=f^{-1}(y)$.

$V(y)=\pi*\int\limits_{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^2dy$

Anwendung am Beispiel

$0,5*\sqrt{x^2+4}$ im Intervall [0;4].

Gesucht ist das Volumen der Funktion f(x) rotiert um die x-Achse.

Dazu setzt man die Werte in die Formel $V(x)=\pi*\int_a^b(f(x))^2dx$ ein.

$V(x)=\pi*\int_0^4(0,5*\sqrt{x^2+4})^2dx$

$=\pi*\int_0^4(0,25*{x^2+1})dx$

$=\pi*[\frac 1{12}x^3+x]^4_0$

Das führt zu folgendem Ergebnis:

$\frac {28}3*\pi\approx 29,32$