Rotationsintegrale.: Unterschied zwischen den Versionen

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In der obenstehenden Abbildung handelt es sich, um eine Rotation um die x-Achse. Unser Ziel ist es das Volumen der Rotationskörper bei Rotierung um die x- bzw. y-Achse zu berechnen.
 
In der obenstehenden Abbildung handelt es sich, um eine Rotation um die x-Achse. Unser Ziel ist es das Volumen der Rotationskörper bei Rotierung um die x- bzw. y-Achse zu berechnen.
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'''Beispiel''' (''Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse''):
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Wir haben den Graph der Funktion f mit f(x)=<math>\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}</math>. Dieser begrenzt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=4 eine Fläche.
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Das Volumen berechnet man so:
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<math>V(x)=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4})^2dx</math>
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Bei der Rotation um die y-Achse berechnen wir nun den Rotationskörper, der durch die Rotierung der Fläche A um die y-Achse entsteht. Die Fläche A wird durch einen Graphen, die y-Achse und den Gleichungen y=c und y=d begrenzt.
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Um das Volumen zu bestimmen, muss der Graph an der Winkelhalbierenden der Kooardinatenachsen gespiegelt werden. In der Rechnung muss man hierzu die Umkehrfunktion bestimmen. [[http://www.oberprima.com/index.php/umkehrfunktion/nachhilfe| Bestimmung von Umkehrfunktionen]]
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Daraus ergibt sich die Volumenformel:
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<math>V(y)=\pi\int\limits_{f(a)}^{f(b)}(\bar{f}(y))^2dy</math>
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'''Beispiel:''' (''Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die y-Achse''):
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Der Graph der Funktion f mit f(x)= <math>\frac{1}{4}x^2+1</math> begrenzt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=2 und y=3 eine Fläche, die um die y-Achse rotiert.
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Das Volumen des Rotationskörpers berechnen wir so:
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''Umkehrfunktion bestimmen:'' <math>x^2=(\bar{f}(y))^2 =4y-4</math>, dann gilt
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<math>V=\pi\int_2^3(\bar{f}(y))^2dy=\pi\int_2^3(4y-4)dy</math>
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<math>=\pi[2y^2-4y]^3_2=6\pi=18.85</math>
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== Rotationsintegrale üben ==
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- ''im Buch(Analysis):'' S. 147-151
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- ''Aufgaben online'':[http://www.klassenarbeiten.net/klassenarbeiten/uebungen/klasse10/mathematik/zylinder_kegel_kugel/rotationskoerper.shtml| Klassenarbeitsübungen]
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[[Kategorie:Differential- und Integralrechnung]]

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:30 Uhr

Ein Rotationskörper ensteht, indem man eine Fläche um eine Drehachse rotieren lässt. Diese Fläche ist durch eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion f, den Gleichungen x=a und x=b und der jeweiligen Achse eingeschlossen.

Sv74b74c.gif

In der obenstehenden Abbildung handelt es sich, um eine Rotation um die x-Achse. Unser Ziel ist es das Volumen der Rotationskörper bei Rotierung um die x- bzw. y-Achse zu berechnen.


1. Rotation um die x-Achse

V(x)=\pi\int_a^b(f(x))^2dx


Beispiel (Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse):

Wir haben den Graph der Funktion f mit f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}. Dieser begrenzt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=4 eine Fläche. Das Volumen berechnet man so:


V(x)=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4})^2dx

=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}{x^2+1})dx

=\pi[\frac 1{12}x^3+x]^4_0

=\frac{28}{3}\pi=29,32.



2. Rotation um die y-Achse

Bei der Rotation um die y-Achse berechnen wir nun den Rotationskörper, der durch die Rotierung der Fläche A um die y-Achse entsteht. Die Fläche A wird durch einen Graphen, die y-Achse und den Gleichungen y=c und y=d begrenzt. Um das Volumen zu bestimmen, muss der Graph an der Winkelhalbierenden der Kooardinatenachsen gespiegelt werden. In der Rechnung muss man hierzu die Umkehrfunktion bestimmen. [Bestimmung von Umkehrfunktionen]

Daraus ergibt sich die Volumenformel: V(y)=\pi\int\limits_{f(a)}^{f(b)}(\bar{f}(y))^2dy


Beispiel: (Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die y-Achse): Der Graph der Funktion f mit f(x)= \frac{1}{4}x^2+1 begrenzt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=2 und y=3 eine Fläche, die um die y-Achse rotiert. Das Volumen des Rotationskörpers berechnen wir so:

Umkehrfunktion bestimmen: x^2=(\bar{f}(y))^2 =4y-4, dann gilt


V=\pi\int_2^3(\bar{f}(y))^2dy=\pi\int_2^3(4y-4)dy

=\pi[2y^2-4y]^3_2=6\pi=18.85



Rotationsintegrale üben

- im Buch(Analysis): S. 147-151

- Aufgaben online:Klassenarbeitsübungen

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