Geometrieaufgabe.: Unterschied zwischen den Versionen

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O(c)= 2*5*<math>\frac{9}{c}</math> + 2*5*c + 2*<math>\frac{9}{c}</math>*c
 
O(c)= 2*5*<math>\frac{9}{c}</math> + 2*5*c + 2*<math>\frac{9}{c}</math>*c
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<math>c^2</math> = 9                                  | +/- <math>\sqrt{}</math>
 
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c1= 3 c2= -3
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2.Ableitung erstellen:
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O"(c) = <math>\frac{180}{c^3}</math>
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c1 und c2 einsetzten und nach Tiefpunkt suchen:
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O"(3) > 0 daraus folgt, dass ein TP vorliegt -> minimale Oberfläche
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c= 3 in Zielfunktion einsetzen:
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45 = 5*b*c     
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45 = 5*b*3  | : 15
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3  = b
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<u>Ergebnis:</u>
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a=5 b=3 c=3 für Volumen <math>V=45cm^3</math>
  
  

Aktuelle Version vom 15. Februar 2011, 13:11 Uhr

Stift.gif   Aufgabe

Eine Zündholzschachtel soll 5 cm lang sein und das Volumen 45 cm³ haben. Bei welcher Breite und Höhe braucht man zur Herstellung am wenigsten Material?

Bei der Lösung der Aufgabe werden überlappende Flächen nicht weiter beachtet!


Hilfsmittel zur Lösung der Problematik:

Volumen vom Quader = a*b*c

Oberflächeninhalt = 2ab+2ac+2bc


Nebendingungen aufstellen:

1.NB:

a=5cm

2.NB:

V=a*b*c = 45 = 5*b*c

45=5*b*c

9=b*c

b=\frac{9}{c}

Zielfunktion aufstellen:

b in Oberflächenformel einsetzen

O=2*5*b+2*5*c+2*b*c


2.NB nach einer Variable auflösen, um später in die Zielfunktion einsetzen zu können.

45=5*b*c

b=\frac{9}{c}


Beide NB. in die Zielfunktion einsetzen um nur noch eine Variable zu erhalten:

O(c)= 2*5*\frac{9}{c} + 2*5*c + 2*\frac{9}{c}*c

= \frac{90}{c} + 10c + 18

1.Ableitung erstellen:

O'(c) = - \frac{90}{c^2}+ 10

0 = - \frac{90}{c^2}+ 10 | - 10

-10 = - \frac{90}{c^2} | *c^2

-10*c^2= - 90 | : -10

c^2 = 9 | +/- \sqrt{}


c1= 3 c2= -3

2.Ableitung erstellen:

O"(c) = \frac{180}{c^3}

c1 und c2 einsetzten und nach Tiefpunkt suchen:

O"(3) > 0 daraus folgt, dass ein TP vorliegt -> minimale Oberfläche

c= 3 in Zielfunktion einsetzen:

45 = 5*b*c 45 = 5*b*3 | : 15 3 = b


Ergebnis:

a=5 b=3 c=3 für Volumen V=45cm^3

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