Geometrieaufgabe.

Aufgabe Eine Zündholzschachtel soll 5 cm lang sein und das Volumen 45 cm³ haben. Bei welcher Breite und Höhe braucht man zur Herstellung am wenigsten Material? Bei der Lösung der Aufgabe werden überlappende Flächen nicht weiter beachtet!

Hilfsmittel zur Lösung der Problematik:

Volumen vom Quader = a*b*c

Oberflächeninhalt = 2ab+2ac+2bc

Nebendingungen aufstellen:

1.NB:

$a=5cm$

2.NB:

$V=a*b*c = 45 = 5*b*c$

$45=5*b*c$

$9=b*c$

$b=\frac{9}{c}$

Zielfunktion aufstellen:

b in Oberflächenformel einsetzen

O=2*5*b+2*5*c+2*b*c

2.NB nach einer Variable auflösen, um später in die Zielfunktion einsetzen zu können.

45=5*b*c

$b=\frac{9}{c}$

Beide NB. in die Zielfunktion einsetzen um nur noch eine Variable zu erhalten:

O(c)= 2*5*$\frac{9}{c}$ + 2*5*c + 2*$\frac{9}{c}$*c

= $\frac{90}{c}$ + 10c + 18

1.Ableitung erstellen:

O'(c) = - $\frac{90}{c^2}$+ 10

0 = - $\frac{90}{c^2}$+ 10 | - 10

-10 = - $\frac{90}{c^2}$ | $*c^2$

$-10*c^2$= - 90 | : -10

$c^2$ = 9 | +/- $\sqrt{}$

c1= 3 c2= -3

2.Ableitung erstellen:

O"(c) = $\frac{180}{c^3}$

c1 und c2 einsetzten und nach Tiefpunkt suchen:

O"(3) > 0 daraus folgt, dass ein TP vorliegt -> minimale Oberfläche

c= 3 in Zielfunktion einsetzen:

45 = 5*b*c 45 = 5*b*3 | : 15 3 = b

Ergebnis:

a=5 b=3 c=3 für Volumen $V=45cm^3$