Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Bestimmung der Eigenwerte:'''
 
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Gegeben ist die  Matrix A=<math>\begin{pmatrix}
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Gegeben ist die  Matrix <math>A=\begin{pmatrix}
 
4 & 1 \\
 
4 & 1 \\
 
-1 & 2
 
-1 & 2
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\end{pmatrix}</math>
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\end{pmatrix}\!\,</math>
  
 
Aufstellen der charakteristischen Gleichung:
 
Aufstellen der charakteristischen Gleichung:
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                                            <=><math>\lambda</math><sup>2</sup>-6<math>\lambda</math>+8+1=0
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                                      <math><=>\lambda^2-6\lambda+8+1=0\!\,</math>
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                                            <=><math>\lambda</math><sup>2</sup>-6<math>\lambda</math>+9=0
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                                      <math><=>\lambda^2-6\lambda+9=0\!\,</math>
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                                            <=><math>\lambda</math><sub>1/2</sub>=3<math>\pm</math><math>\sqrt{9-9}</math>
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                                      <math><=>\lambda_{1,2}=3\pm\sqrt{9-9}\!\,</math>
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                                      <math><=>\lambda_{1,2}=3\!\,</math>
 
=>d.h. nur ein Eigenwert
 
=>d.h. nur ein Eigenwert
  
 
'''Bestimmung des Eigenvektors:'''
 
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                                          <math>(A-\lambda E)\vec x=\vec 0\!\,</math>
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                                    <math><=>[\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}]\vec x=\vec 0\!\, </math>

Version vom 14. Dezember 2009, 10:53 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eigenwerte

Eigenvektoren

Bestimmung von Eigenwerten

Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}.

Aufstellen der charakteristischen Gleichung: 

                     det(A-\lambdaA)=0<=>(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0

Die Lösungen \lambda1/\lambda2 dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.

Bestimmung von Eigenvektoren 

Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS \begin{pmatrix}
a-\lambda & c \\
b & d-\lambda
\end{pmatrix} \vec x=\vec0 löst.

Für den Eigenwert \lambda=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für \lambda\ne1 eine Fixgerade.

Beispielaufgaben

Bestimmung der Eigenwerte:

Gegeben ist die Matrix A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\!\,

Aufstellen der charakteristischen Gleichung: 

                                           (4-\lambda)(2-\lambda)+1=0\!\,
                                     <=>\lambda^2-6\lambda+8+1=0\!\,
                                     <=>\lambda^2-6\lambda+9=0\!\,
                                     <=>\lambda_{1,2}=3\pm\sqrt{9-9}\!\,
                                     <=>\lambda_{1,2}=3\!\,

=>d.h. nur ein Eigenwert

Bestimmung des Eigenvektors: 

                                          (A-\lambda E)\vec x=\vec 0\!\,
                                    <=>[\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}]\vec x=\vec 0\!\,
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