Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).

Definition

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.

(Die vorliegende Definition ist der pdf Datei "Eigenwerte und Eigenvektoren" auf der Seite:[1], 14.12.2009, entnommen.)

Bestimmung von Eigenwerten

Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=$\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}$.

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

$det(A-\lambda A)=0<=>(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0\!\,$

Die Lösungen $\lambda$₁/$\lambda$₂ dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.

Bestimmung von Eigenvektoren

Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS $\begin{pmatrix} a-\lambda & c \\ b & d-\lambda \end{pmatrix}$$\vec x$=$\vec0$ löst.

Für den Eigenwert $\lambda$=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für $\lambda$$\ne$1 eine Fixgerade.

Beispielaufgabe

Bestimmung der Eigenwerte:

Gegeben ist die Matrix $A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\!\,$

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

                                           $(4-\lambda)(2-\lambda)+1=0\!\,$
                                     $<=>\lambda^2-6\lambda+8+1=0\!\,$
                                     $<=>\lambda^2-6\lambda+9=0\!\,$
                                     $<=>\lambda_{1,2}=3\pm\sqrt{9-9}\!\,$
                                     $<=>\lambda_{1,2}=3\!\,$

=>d.h. nur ein Eigenwert

Bestimmung des Eigenvektors:

                                          $(A-\lambda E)\vec x=\vec 0\!\,$
                                    $<=>\left[\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\right]\vec x=\vec 0\!\,$
                                    $<=>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\vec x=\vec 0\!\,$

                                    $<=>I x+y=0\!\,$
                                          $II -x-y=0\!\,$

                                          $x+y=0\!\,$
                                          $0=0\!\,$

                                          $y=c\!\,$
                                    $<=> x=-c\!\,$

$=>\vec x = c{-1 \choose 1}\!\,$

Transformationsmatrizen

Die sogenannte Transformastionsmatrix $T=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\!\,$ bildet das ursprüngliche Koordinatensystem auf ein neues ab. Dabei besteht das neue KOS aus zwei linear unabhängigen Eigenvektoren $\vec x = {a \choose b}\!\,$ und $\vec y = {c \choose d}\!\,$

Normaldarstellung

Eine Normaldarstellung $A^*\!$ der Abbildungsmatrix $A\!$ erhält man durch eine Transformation mit einer geeigneten Transformationsmatrix $T\!$:

                                                 $A^*=T^{-1}AT\!$

Wie $T\!$ zu wählen ist, hängt von der Anzahl der Eigenwerte ab.

Weblinks

1. Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren [2]
2. interaktive Applets von der Uni Stuttgart; Spiegelung, Projektion, Scherung, Drehung [3]