Rotationsintegrale.: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | <math>V(x)=\pi\int_a^b(f(x))^2dx</math> | ||
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| + | '''Beispiel''' (''Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse''): | ||
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| + | Wir haben den Graph der Funktion f mit f(x)=<math>\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}</math>. Dieser begrenzt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=4 eine Fläche. | ||
| + | Das Volumen berechnet man so: | ||
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| + | <math>V(x)=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4})^2dx</math> | ||
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| + | <math>=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}{x^2+1})dx</math> | ||
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| + | <math>=\pi[\frac 1{12}x^3+x]^4_0</math> | ||
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| + | Bei der Rotation um die y-Achse berechnen wir nun den Rotationskörper, der durch die Rotierung der Fläche A um die y-Achse entsteht. Die Fläche A wird durch einen Graphen, die y-Achse und den Gleichungen y=c und y=d. | ||
Version vom 14. Dezember 2009, 11:12 Uhr
Ein Rotationskörper ensteht, indem man eine Fläche um eine Drehachse rotieren lässt. Diese Fläche ist durch eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion f, den Gleichungen x=a und x=b und der jeweiligen Achse eingeschlossen.
In der obenstehenden Abbildung handelt es sich, um eine Rotation um die x-Achse. Unser Ziel ist es das Volumen der Rotationskörper bei Rotierung um die x- bzw. y-Achse zu berechnen.
1. Rotation um die x-Achse
Beispiel (Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse):
Wir haben den Graph der Funktion f mit f(x)=
. Dieser begrenzt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=4 eine Fläche.
Das Volumen berechnet man so:
![=\pi[\frac 1{12}x^3+x]^4_0](/images/math/b/f/d/bfdecf26052dccddd6734b4a40bfac3f.png)
2. Rotation um die y-Achse
Bei der Rotation um die y-Achse berechnen wir nun den Rotationskörper, der durch die Rotierung der Fläche A um die y-Achse entsteht. Die Fläche A wird durch einen Graphen, die y-Achse und den Gleichungen y=c und y=d.
