Skalarprodukt, Vektorprodukt.: Unterschied zwischen den Versionen
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Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix} | Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix} | ||
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} | 1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} | ||
− | 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math> | + | 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> |
+ | =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math> | ||
daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5° | daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5° | ||
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b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix} | b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix} | ||
a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math> | a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math> | ||
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+ | '''Beispiel 3 :''' | ||
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+ | Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind | ||
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+ | 1 \\1 \\0 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix} | ||
+ | 3 \\-4 \\5 \end{pmatrix}</math> | ||
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+ | <math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math> |
Version vom 14. Dezember 2009, 12:35 Uhr
Skalarprodukt
Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.
Die allgemeine Formel lautet : *= * * cos
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in
cos=
Beispiel 1:
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren = und =
Also cos = =
= =
daraus folgt 34,5°
Orthogonalität
Wenn und mit a 0 und b 0 sind, dann gilt: *= 0 Gilt umgekehrt *=0, dann sind und orthogonal.
Beispiel 2
Prüfe,ob die Vektoren a= und b= orthogonal (rechtwinklig) sind
Bedingung ist * muss gleich 0 sein
Also :
* = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11
und -11 ist 0, deswegen sind und nicht orthogonal
Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu und orthogonal ist
Formel für den 3 dimensionalen Raum = =
Beispiel 3 :
Bestimmen Sie alle Vektoren , die zu und orthogonal sind
= und