Schnitte von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen
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Zwei Ebenen können sich schneiden, zueinander parallel sein oder identisch sein. Gegeben seien die Ebene <math>E: \vec{x} = \vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}</math> und die Ebene <math>F: \vec{x} = \vec{d}+u\cdot\vec{e}+v\cdot\vec{f}</math> | Zwei Ebenen können sich schneiden, zueinander parallel sein oder identisch sein. Gegeben seien die Ebene <math>E: \vec{x} = \vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}</math> und die Ebene <math>F: \vec{x} = \vec{d}+u\cdot\vec{e}+v\cdot\vec{f}</math> | ||
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| + | Die Ebenen <math>\!E</math> und <math>\!F</math> werden in die Normalenform umgewandelt. Für die Umwandlung siehe [http://wikis.zum.de/kas/index.php/Darstellung_von_Geraden_und_Ebenen#Parameterform_in_Normalenform hier].<br />Die Normalenvektoren <math>\!n</math><sub>E</sub> und <math>\!n</math><sub>F</sub> sind linear abhängig. Der Vektor <math>\!p</math><sub>E</sub> liegt auf <math>\!F</math> und der Vektor <math>\!p</math><sub>F</sub> liegt auf <math>\!E</math>. | ||
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Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:48 Uhr
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Lagebeziehungen von Geraden und Geraden
Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen können.
Sie können identisch, zueinander parallel, sich schneiden oder zueinander windschief sein.
Die zwei Geraden sind definiert durch 
und 
Identisch
Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren, also 
und 
sind linear abhängig.
Der Stützvektor von 
liegt auf der Geraden 
, der SV von liegt auf der Geraden .
Identisch sind 2 Geraden also dann, wenn sie auf einer Linie liegen.
Zueinander parallel
Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren, also und sind linear abhängig.
Der Stützvektor von liegt nicht auf der Geraden , der SV von liegt nicht auf der Geraden .
Schnittpunkt
Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Wenn man und gleichsetzt, erhält man genau eine Lösung.
Windschief
Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Wenn man und gleichsetzt, erhält man keine Lösung.
Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden
Eine Ebene und eine Gerade können zueinander parallel oder identisch sein oder sich schneiden.
Gegeben seien die Gerade und die Ebene 
Gerade liegt in der Ebene
Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RVg und die Richtungsvektoren der Ebene RV1 und RV2 sind linear abhängig.
Wenn man in die Koordinatenform von 
einsetzt, erhält man unendlich viele Lösungen, da es unendlich viele Schnittpunkte gibt. Zum Umformen der Parameterform in die Koordinatenform siehe hier.
Parallel
Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RVg und die Richtungsvektoren der Ebene RV1 und RV2 sind linear abhängig.
Wenn man in die Koordinatenform von einsetzt, erhält man keine Lösung.
Schnittpunkt
Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RVg und die Richtungsvektoren der Ebene RV1 und RV2 sind linear unabhängig.
Wenn man in die Koordinatenform von einsetzt, erhält man genau eine Lösung.
Lagebeziehungen von Ebenen und Ebenen
Zwei Ebenen können sich schneiden, zueinander parallel sein oder identisch sein. Gegeben seien die Ebene und die Ebene 
Identisch
Die Ebenen und 
werden in die Normalenform umgewandelt. Für die Umwandlung siehe hier.
Die Normalenvektoren 
E und F sind linear abhängig. Der Vektor 
E liegt auf und der Vektor F liegt auf .
