Schnitte von Geraden und Ebenen

Lagebeziehungen von Geraden und Geraden

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen können. Sie können identisch, zueinander parallel, sich schneiden oder zueinander windschief sein. Die zwei Geraden sind definiert durch $g:\vec{x} = \vec{p} + r\cdot\vec{u}$ und $h:\vec{x} = \vec{q} + t\cdot\vec{v}$

Identisch

Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren, also $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind linear abhängig.
Der Stützvektor von $\!g$ liegt auf der Geraden $\!h$, der SV von $\!h$ liegt auf der Geraden $\!g$.
Identisch sind 2 Geraden also dann, wenn sie auf einer Linie liegen.

Zueinander parallel

Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren, also $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind linear abhängig.
Der Stützvektor von $\!g$ liegt nicht auf der Geraden $\!h$, der SV von $\!h$ liegt nicht auf der Geraden $\!g$.

Schnittpunkt

Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Wenn man $\!g$ und $\!h$ gleichsetzt, erhält man genau eine Lösung.

Windschief

Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Wenn man $\!g$ und $\!h$ gleichsetzt, erhält man keine Lösung.

Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden

Eine Ebene und eine Gerade können zueinander parallel oder identisch sein oder sich schneiden. Gegeben seien die Gerade $g: \vec{x} = \vec{p}+r\cdot\vec{u}$ und die Ebene $E: \vec{x} = \vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}$

Gerade liegt in der Ebene

Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RV_g und die Richtungsvektoren der Ebene RV₁ und RV₂ sind linear abhängig.
Wenn man $\!g$ in die Koordinatenform von $\!E$ einsetzt, erhält man unendlich viele Lösungen, da es unendlich viele Schnittpunkte gibt. Zum Umformen der Parameterform in die Koordinatenform siehe hier.

Parallel

Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RV_g und die Richtungsvektoren der Ebene RV₁ und RV₂ sind linear abhängig.
Wenn man $\!g$ in die Koordinatenform von $\!E$ einsetzt, erhält man keine Lösung.

Schnittpunkt

Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RV_g und die Richtungsvektoren der Ebene RV₁ und RV₂ sind linear unabhängig.
Wenn man $\!g$ in die Koordinatenform von $\!E$ einsetzt, erhält man genau eine Lösung.

Lagebeziehungen von Ebenen und Ebenen

Zwei Ebenen können sich schneiden, zueinander parallel sein oder identisch sein. Gegeben seien die Ebene $E: \vec{x} = \vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}$ und die Ebene $F: \vec{x} = \vec{d}+u\cdot\vec{e}+v\cdot\vec{f}$

Identisch

Die Ebenen $\!E$ und $\!F$ werden in die Normalenform umgewandelt. Für die Umwandlung siehe hier.
Die Normalenvektoren $\!n$_E und $\!n$_F sind linear abhängig. Der Vektor $\!p$_E liegt auf $\!F$ und der Vektor $\!p$_F liegt auf $\!E$.

Siehe auch

• Schnitte von Geraden und Ebenen.