Exponentialfunktionen.: Unterschied zwischen den Versionen
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BEISPIELE: <br /> 1.) f (x) = e<sup>5x</sup><br /><br />f ´(x)= 5 e<sup>5x</sup><br /><br />F(x)= <math>\frac{1}{5}</math> e<sup>5x</sup>+c<br /> <br />2.) f(x)=5 e <sup>3x+7</sup><br /><br />f ´(x)= 5 e<sup>3x+7</sup><math>\cdot</math>3 = 15 e<sup>3x+7</sup><br /><br /> F(x) =<math>\frac{5}{3}</math> e<sup>3x+7</sup> | BEISPIELE: <br /> 1.) f (x) = e<sup>5x</sup><br /><br />f ´(x)= 5 e<sup>5x</sup><br /><br />F(x)= <math>\frac{1}{5}</math> e<sup>5x</sup>+c<br /> <br />2.) f(x)=5 e <sup>3x+7</sup><br /><br />f ´(x)= 5 e<sup>3x+7</sup><math>\cdot</math>3 = 15 e<sup>3x+7</sup><br /><br /> F(x) =<math>\frac{5}{3}</math> e<sup>3x+7</sup> | ||
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− | > Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:<br /> Funktion: f(x)= 5x<math>\cdot</math>e <sup>- <math>\ | + | > Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:<br /> <br /> Funktion: f(x)= 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><br /><br /> |
− | + | 1.) Ableitungen:<br /> f ' (x)= 5<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> + 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>( - 1/2)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x)<br /><br /> f ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>(- 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/2 + 5/4x - 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5)<br /><br /> f ' ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>5/4<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/8x + 5/2 + 5/4)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (15/4 - 5/8x)<br /><br />2.) Symmetrie:<br /> f ( -x) = 5<math>\cdot</math>(-x)<math>\cdot</math> e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>(-x)</sup> = - 5x<math>\cdot</math>e<sup>1/2x</sup><math>\ne</math> f (x) --> KEINE ACHSENSYMMETRIE<br />f ( -x) = - 5x<math>\cdot</math> e<sup>1/2x</sup><math>\ne</math> - f(x) --> KEINE PUNKTSYMMETRIE<br /><br /> 3.) Nullstellen:<br /> notw. Bedingung f (x) = 0 <br /> 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> = 0<br /> x = 0 <br /> N(0/0)<br /><br />4.) Verhalten gegen <math>\infty</math>:<br /><math> \lim_{x \to \infty}</math>5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> = 0 , weil 5x <math>\to</math> <math>\infty</math> und e<sup>- 1/2x</sup> <math>\to</math> 0<br /><br /> <math> \lim_{x \to -\infty}</math>5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> = <math> - \infty</math> , weil 5x <math> \to</math> <math>- \infty</math> und e<sup>- 1/2x</sup> <math> \to</math> <math> \infty</math><br /><br />5. Extremwerte: <br />notw. Bedingung f ' (x) = 0 <br /> e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>(5- 5/2x) = 0<br /> Da e<sup>- 1/2x</sup> > 0 ist, braucht man nur die Klammer zu betrachten.<br /> 5 - 5/2x = 0<br />x = 2<br /><br /> hinreichende Bedingung f ' ' (2), um zu überprüfen, ob es Hoch bzw Tiefpunkte gibt: <br /> f' '(2) = e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>2 </sup>(5/4<math>\cdot</math>2 - 5)<br />= e<sup>- 1</sup>( 5/2 - 5)<br />= - 0,92 < 0 daraus folgt: Es sind Hochpunkte vorhanden<br /> f (2) einsetzen, um zu überprüfen, wo der Hochpunkt ist<br />f (2) = 5<math>\cdot</math>2<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>2</sup><br /><br /><math>\approx</math>3,68 d.h.: Hochpunkt (2 / 3,68)<br /><br />6. Wendestellen:<br /> notw. Bedingung f ' ' (x) = 0<br /> e<sup>- 1/2x</sup>( 5/4x -5) = 0 <br /> 5/4x -5 = 0<br />x = 4<br /><br /> hinreichende Bedingung: f ' ' '(4) um zu überprüfen, ob es Wendestellen gibt:<br /> e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>4</sup>( 15/4 - 5/8<math>\cdot</math>4)<br /><math>\approx</math>0,17 <math>\ne</math> 0 d.h.: Wendestelle vorhanden<br /> bei: f (4)= 5<math>\cdot</math>4<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2<math>\cdot</math>4</sup><br /><math>\approx</math>2,17 d.h.: Wendestelle (4/ 2,71)<br /><br />7. Graph: | |
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Aktuelle Version vom 17. Dezember 2010, 10:34 Uhr
> Eigenschaften der Funktion:
Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion besteht aus folgender Form:
f(x) = ax oder auch g(x) = cax wobei: c , a > 0, x ist.
Die Exponentialfunktion beschreibt für a > 1 einen Wachstumsprozess und für 0 < a < 1 einen Zerfallsprozess.
D.h.: a > 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON STEIGERND und 0 < a < 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON FALLEND.
> Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung:
Die natürliche Exponentialfunktion f mit f(x)= ex hat die Ableitungsfunktion f ´mit f ´(x)= ex. Eine Stammfunktion ist F mit F(x)= ex.
ALLGEMEIN:
Ableitung:
f (x) = ev (x)
f ´(x)= ev (x) v ´ (x)
Stammfunktion:
F(x) =
BEISPIELE:
1.) f (x) = e5x
f ´(x)= 5 e5x
F(x)= e5x+c
2.) f(x)=5 e 3x+7
f ´(x)= 5 e3x+73 = 15 e3x+7
F(x) = e3x+7
> Ableitung und Integrieren zusammengesetzter Funktionen:
> Untersuchung von Exponentialfunktionen:
> Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:
Funktion: f(x)= 5xe- 1/2x
1.) Ableitungen:
f ' (x)= 5e- 1/2x + 5xe- 1/2x( - 1/2)
= e- 1/2x (5 - 5/2x)
f ' '(x)= - 1/2e- 1/2x (5 - 5/2x) + e- 1/2x(- 5/2)
= e- 1/2x (- 5/2 + 5/4x - 5/2)
= e- 1/2x (5/4x - 5)
f ' ' '(x)= - 1/2e- 1/2x (5/4x - 5) + e- 1/2x5/4
= e- 1/2x (- 5/8x + 5/2 + 5/4)
= e- 1/2x (15/4 - 5/8x)
2.) Symmetrie:
f ( -x) = 5(-x) e- 1/2(-x) = - 5xe1/2x f (x) --> KEINE ACHSENSYMMETRIE
f ( -x) = - 5x e1/2x - f(x) --> KEINE PUNKTSYMMETRIE
3.) Nullstellen:
notw. Bedingung f (x) = 0
5xe- 1/2x = 0
x = 0
N(0/0)
4.) Verhalten gegen :
5xe- 1/2x = 0 , weil 5x und e- 1/2x 0
5xe- 1/2x = , weil 5x und e- 1/2x
5. Extremwerte:
notw. Bedingung f ' (x) = 0
e- 1/2x(5- 5/2x) = 0
Da e- 1/2x > 0 ist, braucht man nur die Klammer zu betrachten.
5 - 5/2x = 0
x = 2
hinreichende Bedingung f ' ' (2), um zu überprüfen, ob es Hoch bzw Tiefpunkte gibt:
f' '(2) = e- 1/22 (5/42 - 5)
= e- 1( 5/2 - 5)
= - 0,92 < 0 daraus folgt: Es sind Hochpunkte vorhanden
f (2) einsetzen, um zu überprüfen, wo der Hochpunkt ist
f (2) = 52e- 1/22
3,68 d.h.: Hochpunkt (2 / 3,68)
6. Wendestellen:
notw. Bedingung f ' ' (x) = 0
e- 1/2x( 5/4x -5) = 0
5/4x -5 = 0
x = 4
hinreichende Bedingung: f ' ' '(4) um zu überprüfen, ob es Wendestellen gibt:
e- 1/24( 15/4 - 5/84)
0,17 0 d.h.: Wendestelle vorhanden
bei: f (4)= 54e- 1/24
2,17 d.h.: Wendestelle (4/ 2,71)
7. Graph: