Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. | ||
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+ | (Die vorliegende Definition ist der pdf Datei "Eigenwerte und Eigenvektoren" auf der Seite:[http://www.uni-leipzig.de/stksachs/lehrbuecher/mathematik/buecher.html], 14.12.2009, entnommen.) | ||
== Bestimmung von Eigenwerten == | == Bestimmung von Eigenwerten == | ||
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\end{pmatrix}</math>. | \end{pmatrix}</math>. | ||
− | Aufstellen der '''''charakteristischen Gleichung:''''' | + | Aufstellen der '''''charakteristischen Gleichung:''''' |
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Die Lösungen '''<math>\lambda</math><sub>1</sub>/<math>\lambda</math><sub>2</sub>''' dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung. | Die Lösungen '''<math>\lambda</math><sub>1</sub>/<math>\lambda</math><sub>2</sub>''' dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung. | ||
== Bestimmung von Eigenvektoren == | == Bestimmung von Eigenvektoren == | ||
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a-\lambda & c \\ | a-\lambda & c \\ | ||
b & d-\lambda | b & d-\lambda | ||
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Für den Eigenwert <math>\lambda</math>=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für <math>\lambda</math><math>\ne</math>1 eine Fixgerade. | Für den Eigenwert <math>\lambda</math>=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für <math>\lambda</math><math>\ne</math>1 eine Fixgerade. | ||
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'''Bestimmung der Eigenwerte:''' | '''Bestimmung der Eigenwerte:''' | ||
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'''<math>=>\vec x = c{-1 \choose 1}\!\,</math>''' | '''<math>=>\vec x = c{-1 \choose 1}\!\,</math>''' | ||
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+ | == Transformationsmatrizen == | ||
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+ | Die sogenannte Transformastionsmatrix <math>T=\begin{pmatrix} | ||
+ | a & c \\ | ||
+ | b & d | ||
+ | \end{pmatrix}\!\,</math> bildet das ursprüngliche Koordinatensystem auf ein neues ab. Dabei besteht das neue KOS aus zwei linear unabhängigen Eigenvektoren <math>\vec x = {a \choose b}\!\,</math> und <math>\vec y = {c \choose d}\!\,</math> | ||
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+ | == Normaldarstellung == | ||
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+ | Eine Normaldarstellung <math>A^*\!</math> der Abbildungsmatrix <math>A\!</math> erhält man durch eine Transformation mit einer geeigneten Transformationsmatrix <math>T\!</math>: | ||
+ | <math>A^*=T^{-1}AT\!</math> | ||
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+ | Wie <math>T\!</math> zu wählen ist, hängt von der Anzahl der Eigenwerte ab. | ||
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+ | == Weblinks == | ||
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+ | # Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert.htm] | ||
+ | # interaktive Applets von der Uni Stuttgart; Spiegelung, Projektion, Scherung, Drehung [http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-Material/Eigenvektoren/] | ||
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+ | [[Kategorie:Lineare Algebra]] | ||
+ | [[Kategorie:Vektorrechnung]] |
Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:53 Uhr
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Definition
Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.
Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.
(Die vorliegende Definition ist der pdf Datei "Eigenwerte und Eigenvektoren" auf der Seite:[1], 14.12.2009, entnommen.)
Bestimmung von Eigenwerten
Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=.
Aufstellen der charakteristischen Gleichung:
Die Lösungen 1/2 dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.
Bestimmung von Eigenvektoren
Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS = löst.
Für den Eigenwert =1 erhält man eine Fixpunktgerade, für 1 eine Fixgerade.
Beispielaufgabe
Bestimmung der Eigenwerte:
Gegeben ist die Matrix
Aufstellen der charakteristischen Gleichung:
=>d.h. nur ein Eigenwert
Bestimmung des Eigenvektors:
Transformationsmatrizen
Die sogenannte Transformastionsmatrix bildet das ursprüngliche Koordinatensystem auf ein neues ab. Dabei besteht das neue KOS aus zwei linear unabhängigen Eigenvektoren und
Normaldarstellung
Eine Normaldarstellung der Abbildungsmatrix erhält man durch eine Transformation mit einer geeigneten Transformationsmatrix :
Wie zu wählen ist, hängt von der Anzahl der Eigenwerte ab.