Rotationsintegrale.: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:30 Uhr

Ein Rotationskörper ensteht, indem man eine Fläche um eine Drehachse rotieren lässt. Diese Fläche ist durch eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion f, den Gleichungen x=a und x=b und der jeweiligen Achse eingeschlossen.

In der obenstehenden Abbildung handelt es sich, um eine Rotation um die x-Achse. Unser Ziel ist es das Volumen der Rotationskörper bei Rotierung um die x- bzw. y-Achse zu berechnen.

1. Rotation um die x-Achse

Beispiel (Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse):

Wir haben den Graph der Funktion f mit f(x)=. Dieser begrenzt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=4 eine Fläche. Das Volumen berechnet man so:

2. Rotation um die y-Achse

Bei der Rotation um die y-Achse berechnen wir nun den Rotationskörper, der durch die Rotierung der Fläche A um die y-Achse entsteht. Die Fläche A wird durch einen Graphen, die y-Achse und den Gleichungen y=c und y=d begrenzt. Um das Volumen zu bestimmen, muss der Graph an der Winkelhalbierenden der Kooardinatenachsen gespiegelt werden. In der Rechnung muss man hierzu die Umkehrfunktion bestimmen. [Bestimmung von Umkehrfunktionen]

Daraus ergibt sich die Volumenformel:

Beispiel: (Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die y-Achse): Der Graph der Funktion f mit f(x)= begrenzt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=2 und y=3 eine Fläche, die um die y-Achse rotiert. Das Volumen des Rotationskörpers berechnen wir so:

Umkehrfunktion bestimmen: , dann gilt

Rotationsintegrale üben

- im Buch(Analysis): S. 147-151

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