Kurvendiskussion: Unterschied zwischen den Versionen
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=== Nullstellen === | === Nullstellen === | ||
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| + | <math>\!4x^4-3x^2=0 \quad \textrm{ Substitution: } \quad\!x^2=z</math> | ||
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| + | <math>\!4z^2-3z=0</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\!z(4z-3)=0</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\!z=0 \quad \vee \quad 4z-3=0</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\!z=0 \quad \vee \quad 4z=3</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\!z=0 \quad \vee \quad z=\frac 34</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\!x^2=0 \quad \vee \quad x^2=\frac 34</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\!x_1=0 \quad \vee \quad x_2=\sqrt{\frac 34}\quad \vee \quad x_3=-\sqrt{\frac 34}</math> | ||
=== Ableitungen === | === Ableitungen === | ||
Version vom 3. Dezember 2009, 10:57 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Definitionsbereich
Bei den meisten Funktionen gilt 
=
Ausnahmen gibt es bei gebrochene rationale Funktionen
Symmetrie
Punktsymmetrie
In der Funktion gibt es nur ungerade Exponenten
Achsensymmetrie
In der Funktion gibt es nur gerade Exponenten
Nullstellen
Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der X-Achse.
Der Grad der Funktion gibt die höchst mögliche Anzahl der Nullstellen an.
Ableitungen
1. Ableitung 
gibt die Steigung m im Punkt 
an.
2. Ableitung 
gibt die Krümmung von an.
Bei positiven Werten handelt es sich um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten um eine Linkskrümmung.
3. Ableitung 
Zur Berechnung: siehe Ableitungsregeln
Extrempunkte
In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0
also ist die notwendige Bedingung:
Die erhaltenen X-Werte setzt man nun in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein:
hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum.
hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum.
Um die Y-Werte der Hoch- bzw. Tiefpunkte zu erhalten, setzt man die X-Werte in die Ursprungsfunktion 
ein.
Wendepunkte
In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Folglich ist die Krümmung, also die zweite Ableitung in diesem Punkt 0
Notwendige Bedingung
zusätzlich muss auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein, um zu garantieren, dass es sich um einen Wendepunkt handelt:
Um die Y-Werte zu berechnen, setzt man die X-Werte in die Funktion ein.
Sattelpunkt
Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Folglich ist hier die Steigung m=0
Grenzwertverhalten
Das Grenzwertverhalten beschreibt den Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. kleinen X-Werten.
Zeichnen
Beispiel
Definitionsbereich
Symmetrie
achsensymmetrisch
Beide Exponenten sind gerade, also ist die Funktion achsensymmetrisch.
Nullstellen
