Kurvendiskussion

Definitionsbereich

Bei den meisten Funktionen gilt $\mathbb{D}$=$\mathbb{R}$

Ausnahmen gibt es bei gebrochenen rationalen Funktionen

Symmetrie

Punktsymmetrie

$f\!(-x)=-f\!(x)$

In der Funktion gibt es nur ungerade Exponenten

Achsensymmetrie

$f\!(-x)=f\!(x)$

In der Funktion gibt es nur gerade Exponenten

Keine Symmetrie

Die Funktion enthält gerade als auch ungerade Exponenten

Verhalten für hohe x-Beträge

Ist die Zahl vor dem höchsten Exponent positiv und der Exponent gerade so verläuft die Funktion von "links oben nach rechts oben"

Ist die Zahl vor dem höchsten Exponent negativ und der Exponent gerade so verläuft die Funktion von "links unten nach rechts unten"

Ist die Zahl vor dem höchsten Exponent positiv und der Exponent ungerade so verläuft die Funktion von "links unten nach rechts oben"

Ist die Zahl vor dem höchsten Exponent negativ und der Exponent ungerade so verläuft die Funktion von "links oben nach rechts unten"

Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der X-Achse.

$f\!(x)=0$

Der Grad der Funktion gibt die höchst mögliche Anzahl der Nullstellen an.

Ableitungen

1. Ableitung $f\!\,'(x)$

$f\!\,'(x_0)$ gibt die Steigung m im Punkt $x_0\!$ an.

2. Ableitung $f\!\,''(x)$

$f\!\,''(x_0)$ gibt die Krümmung von $x_0\!$ an. Bei positiven Werten handelt es sich um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten um eine Linkskrümmung.

3. Ableitung $f\!\,'''(x)$

Zur Berechnung: siehe Ableitungsregeln

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0

also ist die notwendige Bedingung:

$f\!\,'(x)=0$

Die erhaltenen X-Werte setzt man nun in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein:

$f\!\,''(x)>0$ hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum.

$f\!\,''(x)<0$ hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum.

Um die Y-Werte der Hoch- bzw. Tiefpunkte zu erhalten, setzt man die X-Werte in die Ursprungsfunktion $f\!(x)$ ein.

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Folglich ist die Krümmung, also die zweite Ableitung in diesem Punkt 0

Notwendige Bedingung

$f\!\,''(x)=0$

zusätzlich muss auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein, um zu garantieren, dass es sich um einen Wendepunkt handelt:

$f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0$

Um die Y-Werte zu berechnen, setzt man die X-Werte in die Funktion $f\!(x)$ ein.

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Folglich ist hier die Steigung m=0

Grenzwertverhalten

Das Grenzwertverhalten beschreibt den Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. kleinen X-Werten.

$\lim_{x \to \infty}f(x)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)$

Beispiel

$f\!(x)=4x^4-3x^2$

Definitionsbereich

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Symmetrie

$f\!(-x)=4(-x)^4-3(-x)^2$

$f\!(-x)=4x^4-3x^2$

$\Rightarrow$ achsensymmetrisch

Beide Exponenten sind gerade, also ist die Funktion achsensymmetrisch.

Nullstellen

$\!4x^4-3x^2=0 \quad \textrm{ Substitution: } \quad\!x^2=z$

$\!4z^2-3z=0$

$\!z(4z-3)=0$

$\!z=0 \quad \vee \quad 4z-3=0$

$\!z=0 \quad \vee \quad 4z=3$

$\!z=0 \quad \vee \quad z=\frac 34$

$\!x^2=0 \quad \vee \quad x^2=\frac 34$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad x_2=\sqrt{\frac 34}\quad \vee \quad x_3=-\sqrt{\frac 34}$

Ableitungen

1. Ableitung:

$f\!\,'(x)=16x^3-6x$

2. Ableitung

$f\!\,''(x)=48x^2-6$

3. Ableitung

$f\!\,'''(x)=96x$

Extrempunkte

Notwendige Bedingung: $f\!\,'(x)=0$

$\!16x^3-6x=0$

$\!x(16x^2-6)=0$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad 16x^2-6=0$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad 16x^2=6$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad x^2=\frac 38$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad x_2=\sqrt{\frac 38}\quad \vee \quad x_3=-\sqrt{\frac 38}$

Hinreichende Bedingung: $f\!\,''(x)\not=0$

$f\!\,''(0)=48*0-6=-6 \quad \Rightarrow \quad Maximum$

$f\!\,''(\sqrt{\frac 38})=48*\frac38-6=12 \quad \Rightarrow \quad Minimum$

$f\!\,''(-\sqrt{\frac 38})=48*\frac38-6=12 \quad \Rightarrow \quad Minimum$

Wendepunkte

Notwendige Bedingung: $f\!\,''(x)=0$

$\!48x^2-6=0$

$\!48x^2=6$

$\!x^2=\frac18$

$x_1=\sqrt{\frac18}\quad \vee \quad x_2=\sqrt{-\frac 18}$

Hinreichende Bedingung: $f\!\,'''(x)\not=0$

$f\!\,'''(\sqrt{\frac18})=96*\sqrt{\frac18}=24*\sqrt{2}$

$f\!\,'''(-\sqrt{\frac18})=96*-\sqrt{\frac18}=-24*\sqrt{2}$

Grenzwertverhalten

$\lim_{x \to \infty}f(x)=4x^4-3x^2=\infty$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=4x^4-3x^2=\infty$