Lösung linearer Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. Dezember 2009, 09:43 Uhr

Die Operationen: - Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor - Addition/Subtraktion des Vielfachen einer Gleichung mit einer anderen Gleichung

Aufstellen des linearen Gleichungssystems.

I

$\!4 = 1x +2y +3z$

II

$\! 1 = 2x +3y +4z$

III

$\! 2 = 3x +4y +1z$

Durch das Subtraktionsverfahren eliminiert man $\!x$ aus 2 Gleichungen

I

$\! 4 = 1x +2y +3z$

I*2 - II

$\! 7 = 1y +2z$

III

$\! 2 = 3x +4y +1z$

I

$\! 4 = 1x +2y +3z$

I*2 - II

$\! 7 = 1y +2z$

I*3 - III

$\! 10 = 2y +8z$

Durch erneute Subtraktion wird $\!Y$ eliminiert.

I

$\! 4 = 1x +2y +3z$

I*2 -II

$\! 7 = 1y +2z$

II*2 - III

$\! 4 = -4z$

Durch Einsetzten und Lösen erhält man:

$\! z = -1$

$\! y = 9$

$\! x = -11$

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 === Gaußches Eliminierungsverfahren ===
+Die Operationen:
+-  Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor
+-  Addition/Subtraktion des Vielfachen einer Gleichung mit einer anderen Gleichung
 Aufstellen des linearen Gleichungssystems.
-<math>\!1x +2y +3z = 4</math>   <math>\! |* 2\,\,\, \rceil</math>
+'''I'''
+<math>\!4 = 1x +2y +3z  </math>
+'''II'''
+<math>\! 1 = 2x +3y +4z </math>
+'''III'''
+<math>\! 2 = 3x +4y +1z </math>
+Durch das Subtraktionsverfahren eliminiert man <math>\!x</math> aus 2 Gleichungen
+'''I'''
+<math>\! 4 = 1x +2y +3z </math>
+'''I*2 - II'''
+<math>\! 7 = 1y +2z</math>
+'''III'''
+<math>\! 2 = 3x +4y +1z </math>
+'''I'''
+<math>\! 4 = 1x +2y +3z </math>
+'''I*2 - II'''
+<math>\! 7 = 1y +2z</math>
+'''I*3 - III'''
+<math>\! 10 = 2y +8z </math>
+Durch erneute Subtraktion wird <math>\!Y</math> eliminiert.
+'''I'''
+<math>\! 4 = 1x +2y +3z </math>
+'''I*2 -II'''
+<math>\! 7 = 1y +2z</math>
+'''II*2 - III'''
+<math>\! 4 = -4z </math>
+Durch Einsetzten und Lösen erhält man:
+<math>\! z = -1 </math>
-<math>\!2x +3y +4z = 1</math>
+<math>\! y = 9 </math>
-<math>\!3x +4y +1z = 2</math>
+<math>\! x = -11 </math>