Kurvendiskussion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. Dezember 2009, 09:37 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionsbereich
2 Symmetrie
- 2.1 Punktsymmetrie
- 2.2 Achsensymmetrie
3 Nullstellen
4 Ableitungen
5 Extrempunkte
6 Wendepunkte
- 6.1 Sattelpunkt
7 Grenzwertverhalten
8 Zeichnen
9 Beispiel

Definitionsbereich

Bei den meisten Funktionen gilt $\mathbb{D}$ = $\mathbb{R}$

Ausnahmen gibt es bei gebrochene rationale Funktionen

Symmetrie

Punktsymmetrie

$f\!(-x)=-f\!(x)$

In der Funktion gibt es nur ungerade Exponenten

Achsensymmetrie

$f\!(-x)=f\!(x)$

In der Funktion gibt es nur gerade Exponenten

Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der X-Achse.

$f\!(x)=0$

Der Grad der Funktion gibt die höchst mögliche Anzahl der Nullstellen an.

Ableitungen

1. Ableitung $f\!\,'(x)$

$f\!\,'(x_0)$ gibt die Steigung m im Punkt $x_0\!$ an.

2. Ableitung $f\!\,''(x)$

$f\!\,''(x_0)$ gibt die Krümmung von $x_0\!$ an. Bei positiven Werten handelt es sich um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten um eine Linkskrümmung.

3. Ableitung $f\!\,'''(x)$

Zur Berechnung: siehe Ableitungsregeln

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0

also ist die notwendige Bedingung:

$f\!\,'(x)=0$

Die erhaltenen X-Werte setzt man nun in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein:

$f\!\,''(x)>0$ hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum.

$f\!\,''(x)<0$ hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum.

Um die Y-Werte der Hoch- bzw. Tiefpunkte zu erhalten, setzt man die X-Werte in die Ursprungsfunktion $f\!(x)$ ein.

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Folglich ist die Krümmung, also die zweite Ableitung in diesem Punkt 0

Notwendige Bedingung

$f\!\,''(x)=0$

zusätzlich muss auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein, um zu garantieren, dass es sich um einen Wendepunkt handelt:

$f\!\,'''(x)\not=0$

Um die Y-Werte zu berechnen, setzt man die X-Werte in die Funktion $f\!(x)$ ein.

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Folglich ist hier die Steigung m=0

Grenzwertverhalten

Das Grenzwertverhalten beschreibt den Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. kleinen X-Werten.

$\lim_{x \to \infty}f(x)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)$

Zeichnen

Beispiel

$f\!(x)=4x^4-3x^2$

Definitionsbereich

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Symmetrie

$f\!(-x)=4(-x)^4-3(-x)^2$

$f\!(-x)=4x^4-3x^2$

$\Rightarrow$ achsensymmetrisch

Beide Exponenten sind gerade, also ist die Funktion achsensymmetrisch.

Nullstellen

$\!4x^4-3x^2=0 \quad \textrm{ Substitution: } \quad\!x^2=z$

$\!4z^2-3z=0$

$\!z(4z-3)=0$

$\!z=0 \quad \vee \quad 4z-3=0$

$\!z=0 \quad \vee \quad 4z=3$

$\!z=0 \quad \vee \quad z=\frac 34$

$\!x^2=0 \quad \vee \quad x^2=\frac 34$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad x_2=\sqrt{\frac 34}\quad \vee \quad x_3=-\sqrt{\frac 34}$

Ableitungen

1. Ableitung:

$f\!\,'(x)=16x^3-6x$

2. Ableitung

$f\!\,''(x)=48x^2-6$

3. Ableitung

$f\!\,'''(x)=96x$

Extrempunkte

Notwendige Bedingung: $f\!\,'(x)=0$

$\!16x^3-6x=0$

$\!x(16x^2-6)=0$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad 16x^2-6=0$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad 16x^2=6$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad x^2=\frac 38$

$\!x_1=0 \quad \vee \quad x_2=\sqrt{\frac 38}\quad \vee \quad x_3=-\sqrt{\frac 38}$

Hinreichende Bedingung: $f\!\,''(x)\not=0$

$f\!\,''(0)=48*0-6=-6 \quad \Rightarrow \quad Maximum$

$f\!\,''(\sqrt{\frac 38})=48*\frac38-6=12 \quad \Rightarrow \quad Minimum$

$f\!\,''(-\sqrt{\frac 38})=48*\frac38-6=12 \quad \Rightarrow \quad Minimum$

Wendepunkte

Notwendige Bedingung: $f\!\,''(x)=0$

$\!48x^2-6=0$

$\!48x^2=6$

$\!x^2=\frac18$

$x_1=\sqrt{\frac18}\quad \vee \quad x_2=\sqrt{-\frac 18}$

Hinreichende Bedingung: $f\!\,'''(x)\not=0$

$f\!\,'''(\sqrt{\frac18})=96*\sqrt{\frac18}=24*\sqrt{2}$

$f\!\,'''(-\sqrt{\frac18})=96*-\sqrt{\frac18}=-24*\sqrt{2}$

Grenzwertverhalten

$\lim_{x \to \infty}f(x)=4x^4-3x^2=\infty$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=4x^4-3x^2=\infty$

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Punktsymmetrie

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Wendepunkte

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