Exponentialfunktionen.: Unterschied zwischen den Versionen
Enes12 (Diskussion | Beiträge) |
Enes12 (Diskussion | Beiträge) |
||
Zeile 28: | Zeile 28: | ||
<u>> Untersuchung von Exponentialfunktionen:</u> | <u>> Untersuchung von Exponentialfunktionen:</u> | ||
− | > Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:<br /> <br /> | + | > Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:<br /> <br /> Funktion: f(x)= 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><br /><br /> |
− | + | 1.) Ableitungen:<br /> f ' (x)= 5<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup> + 5x<math>\cdot</math>e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>( - 1/2)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x)<br /><br /> f ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5 - 5/2x) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>(- 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/2 + 5/4x - 5/2)<br /> = e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5)<br /><br /> f ' ' '(x)= - 1/2e<sup>- 1/2x</sup> (5/4x - 5) + e<sup>- 1/2x</sup><math>\cdot</math>5/4<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (- 5/8x + 5/2 + 5/4)<br />= e<sup>- 1/2x</sup> (15/4 - 5/8x) | |
[[Kategorie:Funktionen]] | [[Kategorie:Funktionen]] |
Version vom 14. Dezember 2009, 10:47 Uhr
> Eigenschaften der Funktion:
Die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion besteht aus folgender Form:
f(x) = ax oder auch g(x) = cax wobei: c , a > 0, x ist.
Die Exponentialfunktion beschreibt für a > 1 einen Wachstumsprozess und für 0 < a < 1 einen Zerfallsprozess.
D.h.: a > 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON STEIGERND und 0 < a < 1 hat die Eigenschaft STRENG MONOTON FALLEND.
> Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung:
Die natürliche Exponentialfunktion f mit f(x)= ex hat die Ableitungsfunktion f ´mit f ´(x)= ex. Eine Stammfunktion ist F mit F(x)= ex.
ALLGEMEIN:
Ableitung:
f (x) = ev (x)
f ´(x)= ev (x) v ´ (x)
Stammfunktion:
F(x) = ev (x)+c
BEISPIELE:
1.) f (x) = e5x
f ´(x)= 5 e5x
F(x)= e5x+c
2.) f(x)=5 e 3x+7
f ´(x)= 5 e3x+73 = 15 e3x+7
F(x) = e3x+7
> Ableitung und Integrieren zusammengesetzter Funktionen:
> Untersuchung von Exponentialfunktionen:
> Kurvendiskussion Anhand eines Beispieles:
Funktion: f(x)= 5xe- 1/2x
1.) Ableitungen:
f ' (x)= 5e- 1/2x + 5xe- 1/2x( - 1/2)
= e- 1/2x (5 - 5/2x)
f ' '(x)= - 1/2e- 1/2x (5 - 5/2x) + e- 1/2x(- 5/2)
= e- 1/2x (- 5/2 + 5/4x - 5/2)
= e- 1/2x (5/4x - 5)
f ' ' '(x)= - 1/2e- 1/2x (5/4x - 5) + e- 1/2x5/4
= e- 1/2x (- 5/8x + 5/2 + 5/4)
= e- 1/2x (15/4 - 5/8x)