Kurvendiskussion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 1. Dezember 2009, 13:20 Uhr

Definitionsbereich

Bei den meisten Funktionen gilt =

Ausnahmen gibt es bei gebrochene rationale Funktionen

Symmetrie

Punktsymmetrie

In der Funktion gibt es nur ungerade Exponenten

Achsensymmetrie

In der Funktion gibt es nur gerade Exponenten

Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der X-Achse.

Der Grad der Funktion gibt die höchst mögliche Anzahl der Nullstellen an.

Ableitungen

1. Ableitung

gibt die Steigung m im Punkt an.

2. Ableitung

gibt die Krümmung von an. Bei positiven Werten handelt es sich um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten um eine Linkskrümmung.

3. Ableitung

Zur Berechnung: siehe Ableitungsregeln

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0

also ist die notwendige Bedingung:

Die erhaltenen X-Werte setzt man nun in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein:

hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum.

hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum.

Um die Y-Werte der Hoch- bzw. Tiefpunkte zu erhalten, setzt man die X-Werte in die Ursprungsfunktion ein.

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Folglich ist die Krümmung, also die zweite Ableitung in diesem Punkt 0

Notwendige Bedingung

zusätzlich muss auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein, um zu garantieren, dass es sich um einen Wendepunkt handelt:

Um die Y-Werte zu berechnen, setzt man die X-Werte in die Funktion ein.

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Folglich ist hier die Steigung m=0

Grenzwertverhalten

Das Grenzwertverhalten beschreibt den Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. kleinen X-Werten.

Zeichnen

Beispiel