Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).: Unterschied zwischen den Versionen

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  A=<math>\begin{pmatrix}
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'''Bestimmung der Eigenwerte:'''
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Gegeben ist die Matrix A=<math>\begin{pmatrix}
 
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=>d.h. nur ein Eigenwert
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'''Bestimmung des Eigenvektors:'''

Version vom 14. Dezember 2009, 11:27 Uhr

Inhaltsverzeichnis

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Definition

Eigenwerte

Eigenvektoren

Bestimmung von Eigenwerten

Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}.

Aufstellen der charakteristischen Gleichung: 

                     det(A-\lambdaA)=0<=>(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0

Die Lösungen \lambda1/\lambda2 dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.

Bestimmung von Eigenvektoren 

Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS \begin{pmatrix}
a-\lambda & c \\
b & d-\lambda
\end{pmatrix} \vec x=\vec0 löst.

Für den Eigenwert \lambda=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für \lambda\ne1 eine Fixgerade.

Beispielaufgaben

Bestimmung der Eigenwerte:

Gegeben ist die Matrix A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Aufstellen der charakteristischen Gleichung: 

                                           (4-\lambda)(2-\lambda)+1=0
                                           <=>\lambda2-6\lambda+8+1=0
                                           <=>\lambda2-6\lambda+9=0
                                           <=>\lambda1/2=3\pm\sqrt{9-9}
                                           <=>\lambda1/2=3

=>d.h. nur ein Eigenwert

Bestimmung des Eigenvektors:

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