Prozeß- und Übergangsmatizen

Übergangsmatrizen:

$M=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

$M*\vec a=\vec a_1$

Eine Übergangsmatrix beschreibt einen Übergang von einer Dimension in eine andere.

Addition von Matrizen:

$A+B= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 \\ a_3+b_3 & a_4+b_4 \end{pmatrix}$

Multiplikation:

$M*\vec x=\overrightarrow\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\downarrow\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ae+bf \\ ce+df \end{pmatrix}$

$M*M=\overrightarrow\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\downarrow\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$

$r*M=r*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ra & rb \\ rc & rd \end{pmatrix}$

Inverse:

$\!M^{-1}= Inversematrix$

$M^{-1}*M* \vec x_0= \vec x_0$

$\!M^{-1}*M=E$

$M*\vec x_{-1}=\vec x_0 |*M^{-1}$

$M^{-1}*M*\vec x_{-1}=M^{-1}*\vec x_0$

$\vec x_{-1}=M^{-1}*\vec x_0$

Grenzwert:

$M*\vec a=\vec a$

Ein Grenzwert ist dann erreicht, wenn sich die Matrix durch einen Vektor nicht mehr ändert z.B. bei Populationsentwicklungen. Wenn ein Grenzwert existiert, sind alle Spalten gleich, eine Gleichgewichtsverteilung besteht.

Einheitsmatrix:

$E*\vec a=\vec a$

$\!M^n=M$

Nach n Jahren tritt wieder der gleiche Zustand ein, ist also zyklisch, wie bei Tierpopulationen.

Determinanten:

$det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}= ad-bc$

Eine Determinante beschreibt den Übergang von einer Matrix (M) zu einer inversen Matrix (M^-1).

$\!det (M) = 0$ ->dann existiert keine inverse Matrix!

Wenn die $det(M) \not= 0$, dann heißt die Matrix affine Abbildung!

$M^{-1}= \frac{1}{ad-bc}*\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$