Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).

Bestimmung von Eigenwerten

Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=$\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}$.

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

                     det(A-$\lambda$A)=0<=>(a-$\lambda$)(d-$\lambda$)-bc=0

Die Lösungen $\lambda$₁/$\lambda$₂ dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.

Bestimmung von Eigenvektoren

Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS $\begin{pmatrix}
a-\lambda & c \\
b & d-\lambda
\end{pmatrix}$$\vec x$=$\vec0$ löst.

Für den Eigenwert $\lambda$=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für $\lambda$$\ne$1 eine Fixgerade.

Beispielaufgaben

Bestimmung der Eigenwerte:

Gegeben ist die Matrix A=$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

                                           (4-$\lambda$)(2-$\lambda$)+1=0
                                           <=>$\lambda$2-6$\lambda$+8+1=0
                                           <=>$\lambda$2-6$\lambda$+9=0
                                           <=>$\lambda$1/2=3$\pm$$\sqrt{9-9}$
                                           <=>$\lambda$1/2=3

=>d.h. nur ein Eigenwert

Bestimmung des Eigenvektors: