Kurvendiskussion

Definitionsbereich

Bei den meisten Funktionen gilt $\mathbb{D}$=$\mathbb{R}$

Ausnahmen gibt es bei gebrochene rationale Funktionen

Symmetrie

Punktsymmetrie

$f(-x)=-f(x)$

In der Funktion gibt es nur ungerade Exponenten

Achsensymmetrie

$f(-x)=f(x)$

In der Funktion gibt es nur gerade Exponenten

Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der X-Achse.

$f(x)=0$

Der Grad der Funktion gibt die höchst mögliche Anzahl der Nullstellen an.

Ableitungen

1. Ableitung $f\!\,'(x)$

$f\!\,'(x_0)$ gibt die Steigung m im Punkt $x_0\!$ an.

2. Ableitung $f\!\,''(x)$

$f\!\,''(x_0)$ gibt die Krümmung von $x_0\!$ an. Bei positiven Werten handelt es sich um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten um eine Linkskrümmung.

3. Ableitung $f\!\,'''(x)$

Zur Berechnung: siehe Ableitungsregeln

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0

also ist die notwendige Bedingung:

$f\!\,'(x)=0$

Die erhaltenen X-Werte setzt man nun in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein:

$f\!\,''(x)>0$ hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum.

$f\!\,''(x)<0$ hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum.

Um die Y-Werte der Hoch- bzw. Tiefpunkte zu erhalten, setzt man die X-Werte in die Ursprungsfunktion $f\!(x)$ ein.

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Folglich ist die Krümmung, also die zweite Ableitung in diesem Punkt 0

Notwendige Bedingung

$f\!\,''(x)=0$

zusätzlich muss auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein, um zu garantieren, dass es sich um einen Wendepunkt handelt:

$f\!\,'''(x)\not=0$

Um die Y-Werte zu berechnen, setzt man die X-Werte in die Funktion $f\!(x)$ ein.

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Folglich ist hier die Steigung m=0

Grenzwertverhalten

Das Grenzwertverhalten beschreibt den Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. kleinen X-Werten.

$\lim_{x \to \infty}f(x)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)$

Beispiel

$f\!(x)=4x^4-3x^2$

Definitionsbereich

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Symmetrie

$f\!(-x)=4(-x)^4-3(-x)^2$

$f\!(-x)=4x^4-3x^2$