Extremwertaufgaben.

Definition:

Extremwertprobleme sind Aufgaben, in denen eine Größe optimiert werden soll. Dazu wird eine Zielgröße mithilfe einer Zielfunktion dargestellt, die meistens von zwei Variablen abhängig ist. Durch Ausnutzen einer Nebenbedingung kann eine der Variablen durch die andere ausgedrückt werden. (Kurvendiskussion)

Lösungsansatz:

1. Zielfunktion aufstellen.
2. Prüfen, ob Zielfunktion von Nebenbedingungen abhängt.
3. Nebenbedingung suchen (Um Variablen in Beziehung zu bringen).
4. Ableiten. (Ableitungsregeln.)
5. Extrempunkte bestimmen (Extrempunkte).
6. Rand des Definitionsbereiches auf globale Extremstellen prüfen. (Grenzverhalten)

Hilfsmittel:

Als Problem der Extremwertaufgaben stellen sich häufig die Nebenbedingungen dar, die nicht immer sofort erkennbar aber unabdingbar sind, um die Aufgaben zu lösen. Da die Zielfunktionen zumeist 2 verschiedene Variablen enthalten, ist es notwendig, eine der beiden Variablen in Abhängigkeit der anderen darzustellen. Wenn man also eine Zielfunktion $f(a,b)=a \dot b$ hat, wäre das Ergebnis einer Nebenbedingung etwa $b= \frac{1}{2}a$woraus sich nun die Zielfunktion in Abhängigkeit von nur einer variable a darstellt, in diesem Fall als $f(a)= \frac{1}{2}a^2$

Hier finden Sie einen kurzen Abriss gängiger Hilfsmittel zur Findung von Nebenbedingungen:

Formeln aus der Geometrie

1. Volumenformeln: Die Formeln Konstanter Volumen oder Flächengrößen in einer Extremwertaufgabe helfen häufig eine Nebenbedingung zu finden. Wenn man z.B. ein Zylinder mit möglichst großem Volumen innerhalb einer Kugel mit konstantem Volumen darstellen soll kann man die Zielfunktion
2. Satz des Pythagoras:
Wenn man zum Beispiel einen kreis mit konstantem Radius r gegeben hat und darin ein möglichst großes Rechteck bilden soll, so liegt die Nebenbedingung darin, das die Diagonale des Rechtecks gleich des Kreisdurchmessers ist. d=2r Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich nun eine Nebenbedingnungsformel formulieren, die eine seite des Rechtecks in abhängigkeit der anderen mit dem faktor r darstellt. $(2r)^2-b^2=a^2$ Das Ergebnis der nach a aufgelösten Formel lässt sich nun in die zielfunktion f(a,b)=a*b einfügen. Diese Aufgabe wird genauer erläutert in Beispiel 3.
3. Sinus-/ Cosinus-/ Tangenssätze:

4. Strahlensatz:

Beispiele

Beispiel 1

Ein Schäfer benötigt für seine Schafherde ein rechteckigen Pferch mit einem Flächeninhalt von 500m². Wie soll er die Maße des Rechtecks wählen, damit für eine Umzäunung möglichst wenig Material benötigt wird, wenn eine Rechteckseite von einem Bach gebildet wird?

Lösung:

1. Die gesuchte Zielfunktion soll die Seitenlängen des Zauns angeben, bei denen ein möglichst geringer Materialverbrauch, also ein möglichst kleiner Umfang, entsteht. Des Weiteren soll eine Fläche von 500 m² entstehen. Der Umfang ist abhängig vom Flächeninhalt, die Zielfunktion ist also auch abhängig von einer Nebenbedingung.
2. Die Nebenbedingung, dass eine Fäche von 500 m² entstehen soll ist durch die einfache Multiplikation der beiden Seiten x und y ausdrückbar: 500 = x * y
3. Die Formel mit der man den Umfang eines Rechteckes ausdrückt ist U = 2x + 2y. In der gestellten Aufgabe wird jedoch eine Seite von einem Bach begrenzt, es ist also nicht nötig an dieser Seite einen Zaun zu bauen. Deshalb ergibt sich für die Länge des Zaunes: U = x + 2y Löst man die bereits aufgestellte Nebenbedingung 500 = x * y nach y auf erhält man $y = \frac {500} {x}$. Nach einsetzen in U = x + 2y ergibt sich unsere Zielfunktion: $U(x) = x + \frac {1000} {x}$.
4. Die Ableitungen der Funktion sind: $U'(x)=1-\frac {1000} {x^2}$ und $U''(x)= \frac {2000} {x^3}$. Für U' (x) = 0 erhält man x = 31,622, das sich aufgrund der Bedingung U (31,622) > 0 als Tiefpunkt herausstellt.
5. Mit unserer Nebenbedingung und durch Einsetzen des x-Wertes erhält man y = 15,811. Der kleinste Umfang U = x + 2y ist U = 63,244

Beispiel 2

Bei einer rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen (Fig. 1). Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großem Inhalt herausgeschnitten werden.
a) Wie ist Punkt P zu wählen?
b) Aus dem Rest soll wiederum eine rechteckige Scheibe herausgeschnitten werden. Wie groß kann diese höchstens werden?

1. Problem skizzieren (Fig. 2) und ein KOS einführen.
2. 
3. Die Punkte A und B in g(x)= mx + n einsetzen um die Geradengleichung zu erhalten.
   

Für A in g(x) erhält man 30 = n und für B in g(x)erält man $\frac {3} {2}$ = m
Somit erhält man die Gerade g(x) = $\frac {3} {2}$ + 30

Beispiel 3

Aus einem kreisförmigen Rundstab mit dem Durchmesser d=12cm soll ein rechteckiger Stab mit einem möglichst großem rechteckigem Querschnitt gefertigt werden. Bestimmen Sie die Seitenlänge a und b des Rechtecks.

Lösung:

Leitfaden	Lösung am Beispiel
Angaben rausschreiben	geg.: Querschnitt von einem kreisförmigen Rundstab (Kreis) d=12cm ges.: Rechteck mit größtem Flächeninhalt
Zielfunktion aufstellen	$A\left( a,b \right)= a\cdot b$
Nebenbedingungen	$d=12= \sqrt{a^2+b^2}$
Nebenbedingungen ausnutzen	$12= \sqrt{a^2+b^2}$ $144=\ a ^2+b^2$ $b=\sqrt{144-a^2}$ $b\ in\ a$ $A\left( a \right)=a\cdot\sqrt{144-a^2}$
1.Ableitung aufstellen und = 0 setzen	$A\!\,'\left( a \right)=\sqrt{144-a^2}-\frac{a^2}{\sqrt{144-a^2}}= 0$ $\sqrt{144-a^2}= \frac{a^2}{\sqrt{144-a^2}}$