Rotationsintegrale.

Ein Rotationskörper ensteht, indem man eine Fläche um eine Drehachse rotieren lässt. Diese Fläche ist durch eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion f, den Gleichungen x=a und x=b und der jeweiligen Achse eingeschlossen.

In der obenstehenden Abbildung handelt es sich, um eine Rotation um die x-Achse. Unser Ziel ist es das Volumen der Rotationskörper bei Rotierung um die x- bzw. y-Achse zu berechnen.

1. Rotation um die x-Achse

$V(x)=\pi\int_a^b(f(x))^2dx$

Beispiel (Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse):

Wir haben den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}$ . Dieser begrenzt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=4 eine Fläche. Das Volumen berechnet man so:

$V(x)=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4})^2dx$

$=\pi\int_0^4(\frac{1}{2}{x^2+1})dx$

$=\pi[\frac 1{12}x^3+x]^4_0$

$=\frac{28}{3}\pi=29,32.$

2. Rotation um die y-Achse

Bei der Rotation um die y-Achse berechnen wir nun den Rotationskörper, der durch die Rotierung der Fläche A um die y-Achse entsteht. Die Fläche A wird durch einen Graphen, die y-Achse und den Gleichungen y=c und y=d begrenzt. Um das Volumen zu bestimmen, muss der Graph an der Winkelhalbierenden der Kooardinatenachsen gespiegelt werden. In der Rechnung muss man hierzu die Umkehrfunktion bestimmen. [Bestimmung von Umkehrfunktionen]

Daraus ergibt sich die Volumenformel: $V(y)=\pi\int\limits_{f(a)}^{f(b)}(\bar{f}(y))^2dy$

Beispiel: (Rauminhalt eines Rotationskörpers bei Rotation um die y-Achse): Der Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{4}x^2+1$ begrenzt mit der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=2 und y=3 eine Fläche, die um die y-Achse rotiert. Das Volumen des Rotationskörpers berechnen wir so: