Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).

Bestimmung von Eigenwerten

Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=$\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}$.

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

                     $det(A-\lambda A)=0<=>(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0\!\,$

Die Lösungen $\lambda$₁/$\lambda$₂ dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.

Bestimmung von Eigenvektoren

Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS $\begin{pmatrix}
a-\lambda & c \\
b & d-\lambda
\end{pmatrix}$$\vec x$=$\vec0$ löst.

Für den Eigenwert $\lambda$=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für $\lambda$$\ne$1 eine Fixgerade.

Beispielaufgaben

Bestimmung der Eigenwerte:

Gegeben ist die Matrix $A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\!\,$

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

                                           $(4-\lambda)(2-\lambda)+1=0\!\,$
                                     $<=>\lambda^2-6\lambda+8+1=0\!\,$
                                     $<=>\lambda^2-6\lambda+9=0\!\,$
                                     $<=>\lambda_{1,2}=3\pm\sqrt{9-9}\!\,$
                                     $<=>\lambda_{1,2}=3\!\,$

=>d.h. nur ein Eigenwert

Bestimmung des Eigenvektors:

                                          $(A-\lambda E)\vec x=\vec 0\!\,$
                                    $<=>\left[\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\right]\vec x=\vec 0\!\,$
                                    $<=>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\vec x=\vec 0\!\,$

                                    $<=>I x+y=0\!\,$
                                          $II -x-y=0\!\,$

                                          $x+y=0\!\,$
                                          $0=0\!\,$

                                          $y=c\!\,$
                                    $<=> x=-c\!\,$

$=>\vec x = c{-1 \choose 1}\!\,$