Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).

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Inhaltsverzeichnis

Definition

Eigenwerte

Eigenvektoren

Bestimmung von Eigenwerten

Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=\begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix}.

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

                     det(A-\lambdaA)=0<=>(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0

Die Lösungen \lambda1/\lambda2 dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.

Bestimmung von Eigenvektoren

Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS \begin{pmatrix}
a-\lambda & c \\
b & d-\lambda
\end{pmatrix} \vec x=\vec0 löst.

Für den Eigenwert \lambda=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für \lambda\ne1 eine Fixgerade.

Beispielaufgaben

A=\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}

Aufstellen der charakteristischen Gleichung:

                                           (4-\lambda)(2-\lambda)+1=0
                                           <=>\lambda2-6\lambda+8+1=0
                                           <=>\lambda2-6\lambda+9=0
                                           <=>\lambda1/2=3\pmFehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\wurzel“): \wurzel{9-9}