Lösung einer Differentialgleichung

Aufgabe: In einen großen Kessel (größe ist zu vernachlässigen) werden kontinuierlich 20 Liter Wasser pro Stunde zugeführt. In dem Kochenden Kessel verdunsten allerdings pro stunde immer genau 10 Prozent, des Gesamtinhaltes.

Dazu lässt sich eine Änderungsrate, die wie folgt lautet aufstellen:
$f(t)=20-0,1*F(t)$
Die Zwanzig Liter sind in diesem Fall ein konstanter wert, der addiert wird mit der Zu-/Abnahme, die von dem Gesamtwert F(t) abhängig ist.
Nun haben wir eine Formel, die die Änderung in Abhängigkeit, der Gesamtmenge angibt. Um die Funktion F(t) herauszufinden, müssen wir also die Ableitung Integrieren.
Zunächst wird Dazu die gleichung etwas umgeformt.
$f(t)=0,1(200-F(t))$
$\frac{f(t)}{200-F(t)}=0,1$
$\frac{-f(t)}{200-F(t)}=-0,1$
In diesem Fall liegt ein Bruch vor, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners enthält, was der Ableitung einer Logarythmusfunktion entspricht.
der Term lässt sich also mit einer Logarythmusfunktion aufleiten.
$ln(200-F(t))=-0,1t+c$
$200-F(t)=e^{-0,1t+c}$
$-F(t)=e^{-0,1t+c}-200$
$F(t)=200-e^{-0,1t+c}$
$F(t)=200-e^{-0,1t}*e^{c}$

Den Faktor $e^c$ kann man auch als konstanten Faktor $c_2=e^c$ vor die e-Funktion schreiben.
$F(t)=200-c_2*e^{-0,1t}$

Allgemeiner Formuliert lautet also die Lösung dieser DGL:
$F(t)=S-S_0*e^{-kt}$
Diese Formel kann allgemein für das beschränkte Wachstum verwendet werden.