Skalarprodukt, Vektorprodukt.: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Mit dem Skalarprodukt | + | Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren. |
− | Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math> | + | Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a \cdot </math>*<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math> |
− | Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen formt man die Formel um in | + | Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in |
cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math> | cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math> | ||
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+ | Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man '''nicht''' den gewünschten Winkel aus. | ||
+ | Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten. | ||
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<!--'''Orthogonalität''' --> | <!--'''Orthogonalität''' --> | ||
=== Orthogonalität === | === Orthogonalität === | ||
− | Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind | + | Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind und es gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0 |
− | + | dann bedeutet es, dass <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal zueinander sind. | |
Aktuelle Version vom 29. Oktober 2012, 12:32 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Skalarprodukt
Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.
Die allgemeine Formel lautet : *
=
*
* cos
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in
cos=
Beispiel 1
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren =
und
=
Also cos =
=
=
=
daraus folgt
34,5°
Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus. Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.
Orthogonalität
Wenn und
mit a
0 und b
0 sind und es gilt:
*
= 0
dann bedeutet es, dass
und
orthogonal zueinander sind.
Beispiel 2
Prüfe,ob die Vektoren a= und b=
orthogonal (rechtwinklig) sind
Bedingung ist *
muss gleich 0 sein
Also :
*
= 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11
und -11 ist 0, deswegen sind
und
nicht orthogonal
Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu und
orthogonal ist
Formel für den 3 dimensionalen Raum
=
=
Beispiel 3
Bestimmen Sie alle Vektoren , die zu
und
orthogonal sind
=
und
=
=
=
Also ist der Vektor sowohl senkrecht zu
als auch zu