Skalarprodukt, Vektorprodukt.: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren. | |
+ | Die '''allgemeine Formel''' lautet : <math> \vec a \cdot </math>*<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math> | ||
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− | + | Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in | |
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+ | cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}</math> | ||
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+ | === Beispiel 1 === | ||
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix} | Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix} | ||
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Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix} | Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix} | ||
1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} | 1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} | ||
− | 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{}</math> | + | 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math> |
+ | =<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math> | ||
+ | daraus folgt '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5° | ||
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+ | Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man '''nicht''' den gewünschten Winkel aus. | ||
+ | Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten. | ||
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+ | [[Bild:mathe17.jpg]] | ||
+ | <!--'''Orthogonalität''' --> | ||
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+ | Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind und es gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0 | ||
+ | dann bedeutet es, dass <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal zueinander sind. | ||
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+ | Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | 3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | -4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind | ||
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+ | Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein | ||
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+ | <math>\begin{pmatrix} | ||
+ | 3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | -4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11 | ||
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+ | und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal''' | ||
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+ | Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist''' | ||
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+ | '''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum''' | ||
+ | <math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix} | ||
+ | a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix} | ||
+ | b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math> | ||
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+ | <!--'''Beispiel 3 :'''--> | ||
+ | === Beispiel 3 === | ||
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+ | Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind | ||
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+ | <math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix} | ||
+ | 2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math> | ||
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+ | <math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix} | ||
+ | 2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix} | ||
+ | 6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix} | ||
+ | 6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> | ||
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+ | Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix} | ||
+ | 6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math> \vec b</math> | ||
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+ | [[Kategorie:Vektorrechnung]] |
Aktuelle Version vom 29. Oktober 2012, 12:32 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Skalarprodukt
Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.
Die allgemeine Formel lautet : *= * * cos
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in
cos=
Beispiel 1
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren = und =
Also cos = =
= =
daraus folgt 34,5°
Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus. Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.
Orthogonalität
Wenn und mit a 0 und b 0 sind und es gilt: *= 0 dann bedeutet es, dass und orthogonal zueinander sind.
Beispiel 2
Prüfe,ob die Vektoren a= und b= orthogonal (rechtwinklig) sind
Bedingung ist * muss gleich 0 sein
Also :
* = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11
und -11 ist 0, deswegen sind und nicht orthogonal
Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt
Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu und orthogonal ist
Formel für den 3 dimensionalen Raum = =
Beispiel 3
Bestimmen Sie alle Vektoren , die zu und orthogonal sind
= und
===
Also ist der Vektor sowohl senkrecht zu als auch zu