Skalarprodukt, Vektorprodukt.

Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.

Die allgemeine Formel lautet : $\vec a \cdot$*$\vec b$= $\left| \vec a \right|$ *$\left| \vec b \right|$ * cos $\varphi$

Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in

cos$\varphi$=$\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}$

Beispiel 1

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$=$\begin{pmatrix} 1 \\6 \\4 \end{pmatrix}$ und $\vec b$= $\begin{pmatrix} 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}$

Also cos $\alpha$ =$\frac{\begin{pmatrix} 1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}$ = $\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}$ =$\frac{18}{\sqrt{53}*3}$ =$\frac{6}{\sqrt{53}}$ daraus folgt $\alpha$ $\approx$ 34,5°

Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus. Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.

Orthogonalität

Wenn $\vec a$ und $\vec b$ mit a$\ne$ 0 und b $\ne$ 0 sind und es gilt:$\vec a$ *$\vec b$= 0 dann bedeutet es, dass $\vec a$ und$\vec b$ orthogonal zueinander sind.

Beispiel 2

Prüfe,ob die Vektoren a=$\begin{pmatrix} 3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}$ und b=$\begin{pmatrix} -4 \\5 \\3 \end{pmatrix}$ orthogonal (rechtwinklig) sind

Bedingung ist $\vec a$ *$\vec b$ muss gleich 0 sein

Also :

$\begin{pmatrix} 3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}$ *$\begin{pmatrix} -4 \\5 \\3 \end{pmatrix}$ = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11

und -11 ist$\not=$ 0, deswegen sind$\vec a$ und$\vec b$ nicht orthogonal

Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt

Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu $\vec a$ und$\vec b$ orthogonal ist

Formel für den 3 dimensionalen Raum $\vec a$ $\times$ $\vec b$ = $\begin{pmatrix} a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}$$\times$$\begin{pmatrix} b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}$ =$\begin{pmatrix} a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}$

Beispiel 3

Bestimmen Sie alle Vektoren $\vec x$, die zu $\vec a$ und$\vec b$ orthogonal sind

$\vec a$ =$\begin{pmatrix} 1 \\2 \\3 \end{pmatrix}$ und $\vec b$ $\begin{pmatrix} 2 \\0 \\3 \end{pmatrix}$

$\vec a$$\times$ $\vec b$=$\begin{pmatrix} 1 \\2 \\3 \end{pmatrix}$$\times$$\begin{pmatrix} 2 \\0 \\3 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 6 \\3 \\-4 \end{pmatrix}$

Also ist der Vektor $\begin{pmatrix} 6 \\3 \\-4 \end{pmatrix}$ sowohl senkrecht zu $\vec a$ als auch zu$\vec b$