Skalarprodukt, Vektorprodukt.: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit dem Skalarprodukt rechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.
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<!--u>'''Skalarprodukt'''</u>-->
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Die '''allgemeine Formel''' ist :  <math> \vec a</math> *<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math>
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== Skalarprodukt ==
  
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Für zueinander orthogonalen Vektoren gilt : a<math>\ne </math> 0 ist und b <math>\ne</math> 0 dann <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0
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Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.
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Die '''allgemeine Formel''' lautet :                                             <math> \vec a \cdot </math>*<math>\vec b</math>= <math>\left| \vec a \right|</math> *<math>\left| \vec b \right|</math> * cos <math> \varphi </math>
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Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in 
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cos<math>\varphi</math>=<math>\frac{  \vec a*  \vec b}{ \left|  \vec a \right|* \left|  \vec a \right|}</math>
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<!--'''Beispiel 1:'''-->
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=== Beispiel 1 ===
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Berechne den Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec a</math>=<math>\begin{pmatrix}
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Also cos <math>\alpha </math> =<math> \frac{\begin{pmatrix}
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1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
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2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}</math> = <math>\frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}}</math>
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=<math>\frac{18}{\sqrt{53}*3}</math> =<math>\frac{6}{\sqrt{53}}</math>
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daraus folgt  '''<math>\alpha</math> <math> \approx</math> 34,5°
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Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man '''nicht''' den gewünschten Winkel aus.
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Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.
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<!--'''Orthogonalität''' -->
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=== Orthogonalität ===
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Wenn <math> \vec a</math> und <math> \vec b</math> mit a<math>\ne </math> 0 und b <math>\ne</math> 0 sind und es gilt:<math>\vec a</math> *<math>\vec b</math>= 0
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dann bedeutet es, dass  <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> orthogonal zueinander sind.
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<!--'''Beispiel 2 '''-->
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=== Beispiel 2 ===
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Prüfe,ob die Vektoren a=<math>\begin{pmatrix}
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3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> und b=<math>\begin{pmatrix}
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-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> orthogonal (rechtwinklig) sind
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Bedingung ist <math>\vec a</math> *<math>\vec b</math> muss gleich 0 sein
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3 \\-1 \\2 \end{pmatrix}</math> *<math>\begin{pmatrix}
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-4 \\5 \\3 \end{pmatrix}</math> = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11
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und -11 ist<math>\not=</math> 0, deswegen sind<math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''nicht orthogonal'''
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<!--<u>'''Vektorprodukt''' oder auch '''Kreuzprodukt'''</u> -->
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== Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ==
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Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu <math> \vec a</math> und<math> \vec b</math> '''orthogonal ist'''
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'''Formel ''' für den 3 dimensionalen '''Raum'''
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<math> \vec a</math> <math> \times </math> <math> \vec b</math> = <math>\begin{pmatrix}
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a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix}</math><math> \times </math><math>\begin{pmatrix}
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b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix}</math> =<math>\begin{pmatrix}
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a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}</math>
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<!--'''Beispiel 3 :'''-->
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=== Beispiel 3 ===
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Bestimmen Sie alle Vektoren <math>\vec x</math>, die zu <math>\vec a</math> und<math>\vec b</math> orthogonal sind
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<math>\vec a</math> =<math>\begin{pmatrix}
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1 \\2 \\3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec b</math> <math>\begin{pmatrix}
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2 \\0 \\3 \end{pmatrix}</math>
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<math>\vec a</math><math>\times </math> <math>\vec b</math>=<math> \begin{pmatrix}
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1 \\2 \\3 \end{pmatrix} </math><math> \times</math><math> \begin{pmatrix}
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2 \\0 \\3 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}
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6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} </math>=<math> \begin{pmatrix}
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6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math>
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Also ist der Vektor <math> \begin{pmatrix}
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6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} </math> sowohl senkrecht zu <math> \vec a</math> als auch zu<math>  \vec b</math>
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[[Kategorie:Vektorrechnung]]

Aktuelle Version vom 29. Oktober 2012, 12:32 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.

Die allgemeine Formel lautet : \vec a \cdot *\vec b= \left| \vec a \right| *\left| \vec b \right| * cos \varphi


Um den Winkel zwischen zwei Vektoren auszurechnen, formt man die Formel um in

cos\varphi=\frac{ \vec a* \vec b}{ \left| \vec a \right|* \left| \vec a \right|}


Beispiel 1

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren \vec a=\begin{pmatrix} 1 \\6 \\4 \end{pmatrix} und \vec b= \begin{pmatrix} 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}


Also cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\6 \\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\2 \\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+6^2+4^2*\sqrt{2^2+2^2+1^2}}} = \frac{2+12+4}{\sqrt{53}*\sqrt{9}} =\frac{18}{\sqrt{53}*3} =\frac{6}{\sqrt{53}} daraus folgt \alpha \approx 34,5°



Aber Vorsicht: Man muss die Richtung des Vektors beachten sonst rechnet man nicht den gewünschten Winkel aus. Mit a*b kann man sowohl den Innenwinkel (siehe Bild 1) als auch den aussen Winkel(siehe Bild 2)ausrechnen,also immer die Richtung des Vektors beachten.

Mathe17.jpg

Orthogonalität

Wenn \vec a und \vec b mit a\ne 0 und b \ne 0 sind und es gilt:\vec a *\vec b= 0 dann bedeutet es, dass \vec a und \vec b orthogonal zueinander sind.



Beispiel 2

Prüfe,ob die Vektoren a=\begin{pmatrix} 3 \\-1 \\2 \end{pmatrix} und b=\begin{pmatrix} -4 \\5 \\3 \end{pmatrix} orthogonal (rechtwinklig) sind



Bedingung ist \vec a *\vec b muss gleich 0 sein

Also :

\begin{pmatrix} 3 \\-1 \\2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -4 \\5 \\3 \end{pmatrix} = 3* (-4) + (-1) * 5 + 2 * 3= -11

und -11 ist\not= 0, deswegen sind \vec a und \vec b nicht orthogonal







Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt

Mit dem Vektorprodukt rechnet man den Vektor aus, der zu \vec a und \vec b orthogonal ist

Formel für den 3 dimensionalen Raum \vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a1 \\a2 \\a3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b1 \\b2 \\b3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a2b3-a3b2\\a3b1-a1b3 \\a1b2-a2b1 \end{pmatrix}

Beispiel 3

Bestimmen Sie alle Vektoren \vec x, die zu \vec a und\vec b orthogonal sind

\vec a =\begin{pmatrix} 1 \\2 \\3 \end{pmatrix} und \vec b \begin{pmatrix} 2 \\0 \\3 \end{pmatrix}

\vec a\times \vec b= \begin{pmatrix} 1 \\2 \\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\0 \\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-0 \\6-3 \\0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\3 \\-4 \end{pmatrix}


Also ist der Vektor \begin{pmatrix} 6 \\3 \\-4 \end{pmatrix} sowohl senkrecht zu \vec a als auch zu \vec b

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